В математике и статистике существует специальный термин для обозначения суммы произведений соответствующих элементов. Рассмотрим это понятие и его применение.
Содержание
В математике и статистике существует специальный термин для обозначения суммы произведений соответствующих элементов. Рассмотрим это понятие и его применение.
Основное определение
Сумма произведений пар соответствующих элементов в математике называется скалярным произведением (dot product). В более общем контексте она может называться суммой произведений (sum of products).
Формальное обозначение
Для двух векторов A = [a₁, a₂, ..., aₙ] и B = [b₁, b₂, ..., bₙ] скалярное произведение вычисляется как:
A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ
Области применения
| Область | Применение суммы произведений |
| Линейная алгебра | Вычисление скалярного произведения векторов |
| Статистика | Расчет ковариации и корреляции |
| Экономика | Подсчет общих затрат (цена × количество) |
| Физика | Вычисление работы силы |
Примеры вычисления
Пример 1: Векторы
Для векторов X = [2, 3, 4] и Y = [5, 6, 7]:
Сумма произведений = 2×5 + 3×6 + 4×7 = 10 + 18 + 28 = 56
Пример 2: Статистика
| X | Y | X×Y |
| 1 | 4 | 4 |
| 2 | 5 | 10 |
| 3 | 6 | 18 |
| Сумма | 32 |
Специальные случаи
- Ковариация: Сумма произведений отклонений от среднего
- Моменты распределения: Сумма произведений значений на их вероятности
- Булева алгебра: Сумма произведений в дизъюнктивной нормальной форме
Вычисление в электронных таблицах
В Excel и Google Sheets используется функция:
=SUMPRODUCT(диапазон1, диапазон2)
Важные свойства
- Коммутативность: A·B = B·A
- Дистрибутивность: A·(B+C) = A·B + A·C
- Ассоциативность относительно умножения на скаляр: (kA)·B = k(A·B)
